Question

已知f（x）在（-1，1）上有定義， f（）=1，且滿足x，y∈（-1，1）時有
f（x）-f（y）=f（），數(shù)列{x_n}滿足，
（I）求f（0）的值，并證明f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（II）探索f（x_n+1）與f（x_n）的關(guān)系式，并求f（x_n）的表達式；
（III）是否存在自然數(shù)m，使得對于任意的n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最大值。

Answer 1

解：（1）令x=yf（0）=0；
已知f（x)在（-1，1）上有定義,
令x=0f（0）-f（y）=
∴f(-y)=-f(y)
∴f（x）在（-1,1）上為奇函數(shù)；
（2）∵==
∴
∴{f（x_n）}為等比數(shù)列
又，q=2
∴
（3）假設(shè)存在自然數(shù)m滿足題設(shè)條件，則
==對于任意的n∈N*成立
∴對于任意的n∈N*成立，
當n=1時，的最小值為12，
∴m<12，即m的最大值為11.