Question

已知函數f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）為偶函數，如果點A（x，y）在函數f（x）的圖象上，且點B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的圖象上．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在實數λ，使F（x）在上為減函數，且在上為增函數？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：利用偶函數的定義列出恒成立的等式，求出b的值；再點A（x，y）在函數f（x）的圖象上，且點B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的圖象上，求出b，c的值；
（2）由f（x）求g（x），再求F（x）解析式，求F（x₁）-F（x₂）的表達式，最后要變形為因式相乘的形式；根據單調性得出這個式子的正負，從而得出λ的范圍，由兩個范圍取交集可得λ的值．
解答：解：（1）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數，故f（-x）=f（x），即有（-x）2+b（-x）+c=x²+bx+c，解得b=0．
由因為點A（x，y）在函數f（x）的圖象上，且點B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的圖象上，所以c=1，所以f（x）=x²+1
（2）解：g（x）=f（x²+1）=（x²+1）²+1=x⁴+2x²+2．
F（x）=g（x）-λf（x）=x⁴+（2-λ）x²+（2-λ），F（x₁）-F（x₂）=（x₁+x₂）（x₁-x₂）[x₁²+x₂²+（2-λ）]
由題設當x₁＜x₂＜時，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＞++2-λ=3-λ，
則3-λ≥0，λ≤3；
當＜x₁＜x₂＜0時，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＞++2-λ=3-λ，
則3-λ≥0，λ≥3故λ=3．
點評：解決函數的奇偶性問題，一般利用奇函數、偶函數的定義找關系；注意具有奇偶性的函數的定義域關于原點對稱；求參數的值，用函數的單調性定義求解，屬于定義的逆用，知單調性來判斷差的正負．