Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，EF∥BC，F(xiàn)A=2，AD=3，∠ADE=45°，點(diǎn)G是FA的中點(diǎn)．
（1）求證：EG⊥平面CDE；
（2）在棱BC是否存在點(diǎn)M，使GM∥平面CDE，若存在，找出點(diǎn)M；若不存在，說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD．
在四邊形ADEF中，由FA=2，AD=3，∠ADE=45°，可證得EG⊥DE，
又由FA⊥平面ABCD，得AF⊥CD，
∵正方形ABCD中CD⊥AD，∴CD⊥平面ADEF，
∵EG?平面ADEF，∴CD⊥EG，
∵CD∩DE=D，∴EG⊥平面CDE；…（6分）
（2）在BC存在點(diǎn)M，BC=3BM，使GM∥平面CDE
取DE中點(diǎn)H，連接GM、GH、CH，
∵在梯形ADEF中，G是AF中點(diǎn)，
∴GH=

1

2

(AD+EF=2)，GH∥AD，
∵BC∥AD，BC=AD=3，BC=3BM，∴CM=2=GH，GH∥CM，
∴四邊形CHGM是平行四邊形
∴GM∥CH，∴GM∥平面CDE．