Question

ABCD是長方形，四個頂點在平面α上的射影分別為A′、B′、C′、D′，直線A′B^′與C′D′不重合．①求證：A′B′C′D′是平行四邊形；②在怎樣的情況下，A′B′C′D′是長方形？證明你的結論．

Answer 1

證明：①∵AA'⊥α，BB'⊥α，
∴AA'∥BB'，
∴AA'∥面BB'C'C．同理AD∥面BB'C'C，
∴面AA'D'D∥面BB'C'C，
∴A'D'∥B'C'
同理AA'∥C'D'．
∵A'B'與C'D'不重合，
∴A'B'C'D'為平行四邊形．
②在ABCD∥α時，A'B'C'D'為長方形．
∵ABCD∥α，
∴AA'⊥ABCD，
∴A'A⊥AB，
∴AB⊥面AA'D'D．
∵AB∥A'B'，
∴A'B'⊥面AA'D'D，
∴B'A'⊥A'D'，
∴A'B'C'D'為長方形．
分析：①根據長方形在平面上的投影，知道點與投影的連線與平面α垂直，得到線與線平行，從而得到線與面平行，得到面與面平行，根據面面平行的性質定理得到兩對對邊互相平行，得到平行四邊形．
②當長方形所在的平面與平面α平行時，投影圖象是一個長方形，根據面與面平行，其中一個平面與一條線垂直，得到直線與另一個平面垂直，根據線面垂直得到線線垂直，得到投影的兩條相鄰邊是垂直關系．
點評：本題考查平行投影及平行投影作圖法，考查面面平行的判定定理，考查線面垂直的定義，考查面面平行的性質定理，是一個綜合題目．