Question

某工廠因排污比較嚴重，決定著手整治，一個月時污染度為60，整治后前四個月的污染度如下表；

月數	1	2	3	4	…
污染度	60	31	13	0	…

污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現用下列三個函數模擬從整治后第一個月開始工廠的污染模式：f（x）=20|x-4|（x≥1），g（x）=

20

3

(x-4)2（x≥1），h（x）=30|log₂x-2|（x≥1），其中x表示月數，f（x）、g（x）、h（x）分別表示污染度．
（1）問選用哪個函數模擬比較合理，并說明理由；
（2）若以比較合理的模擬函數預測，整治后有多少個月的污染度不超過60？

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）通過計算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h（1），h（2），h（3），h（4）的值；可知h（x）更接近表中的實際值，用h（x）模擬較為合理．
（2）由復合函數的單調性知，函數h（x）=30|log₂x-2|在x≥4上是增函數，且h（16）=60，知整治后有16個月的污染度不超過60．

解答： 解：（1）∵f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3（3分）
f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈10.9（6分）
由此可得h（x）更接近實際值，所以用h（x）模擬比較合理．（7分）
（2）因h（x）=30|log₂x-2|在x≥4上是增函數，又因為h（16）=60（12分）
故整治后有16個月的污染度不超過60．（14分）

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用問題，選擇函數模擬實際問題時，函數值越接近實際值，函數模擬效果越好．