Question

某軟件公司新開發一款學習軟件，該軟件把學科知識設計為由易到難共12關的闖關游戲．為了激發闖關熱情，每闖過一關都獎勵若干慧幣（一種網絡虛擬幣）．該軟件提供了三種獎勵方案：第一種，每闖過一關獎勵40慧幣；第二種，闖過第一關獎勵4慧幣，以后每一關比前一關多獎勵4慧幣；第三種，闖過第一關獎勵0.5 慧幣，以后每一關比前一關獎勵翻一番（即增加1倍），游戲規定：闖關者須于闖關前任選一種獎勵方案．
（Ⅰ）設闖過n （ n∈N，且n≤12）關后三種獎勵方案獲得的慧幣依次為A_n，B_n，C_n，試求出A_n，B_n，C_n的表達式；
（Ⅱ）如果你是一名闖關者，為了得到更多的慧幣，你應如何選擇獎勵方案？

Answer 1

分析：（Ⅰ）第一種獎勵方案闖過各關所得慧幣構成常數列，且各項均為40，由此能求出A_n=40n；第二種獎勵方案闖過各項各關所得慧幣構成首項是4，公差也為4的等差數列，由此能求出B_n的表達式；第三種獎勵方案闖過各關所得慧幣構成首項是0.5，公比為2的等比數列，由此能求出C_n的表達式．
（Ⅱ）令A_n＞B_n，即40n＞2n²+2n，解得n＜19．由n≤12，知A_n＞B_n恒成立．令A_n＞C_n，即40n＞

1

2

(2n -1)，解得n＜10．故當n＜10時，A_n最大；當10≤n≤12時，C_n＞A_n．由此能夠選出最佳的選擇獎勵方案．

解答：解：（Ⅰ）∵第一種獎勵方案闖過各關所得慧幣構成常數列，且各項均為40，
∴A_n=40n．
第二種獎勵方案闖過各項各關所得慧幣構成首項是4，公差也為4的等差數列，
∴Bn=4n+

n(n-1)

2

×4=2n2+2n，
第三種獎勵方案闖過各關所得慧幣構成首項是0.5，公比為2的等比數列，
∴Cn=

1 2 (1-2n)

1-2

=

1

2

(2n-1)．
（Ⅱ）令A_n＞B_n，即40n＞2n²+2n，解得n＜19．
∵n∈N^*，且n≤12，∴A_n＞B_n恒成立．
令A_n＞C_n，即40n＞

1

2

(2n -1)，解得n＜10．
∴當n＜10時，A_n最大；當10≤n≤12時，C_n＞A_n．
綜上所述，若你是一名闖關者，當你能沖過的關數小于10時，應該選用第一種獎勵方案；
當你能沖過的關數大于等于10時，應該選用第三種獎勵方案．

點評：本題考查數列知識在生產實際中的具體運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，仔細分析題設中的數量關系，合理地進行等價轉化．