Question

已知函數f(x)=log2

x+4

x-4

（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）討論f（x）的單調性，并證明．

Answer 1

分析：（1）由題，可令

x+4

x-4

＞0，解出函數的定義域．
（2）由f（-x）=log

( x+4 x-4 )-1 2

=-f（x），依據奇函數定義得出函數的奇偶性．
（3）再由復合函數單調性的判斷方法判斷出單調性即可．

解答：解：（1）由題意，令

x+4

x-4

＞0，解得4＜x或x＜-4，故函數的定義域為（-∞，-4）∪（4，+∞）
（2）由于f（-x）=log

( x+4 x-4 )-1 2

=-f（x），∴函數是奇函數．
（3）當x∈（-∞，-4）∪（4，+∞）時f(x)=log2

x+4

x-4

可知

x+4

x-4

=1+

8

x-4

．
因為y=x-4是增函數
y=

8

x-4

是減函數
y=

x+4

x-4

是減函數
f(x)=log2

x+4

x-4

是減函數
綜上，函數的定義域為（-∞，-4）∪（4，+∞），此函數是一個奇函數，也是減函數．

點評：本題考點是對數函數圖象與性質的應用，考察了對數函數定義域的求法，對數的運算性質，函數奇偶性的判斷，復合函數單調性的判斷規則，解題的關鍵是熟練掌握對數的性質、復合函數單調性的判斷規則，本題考察了推理判斷的能力．