Question

設函數f(x)=ln

kx-1

x-1

．
（I）當k=-1時，判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（II）若f（x）在[e，+∞）上單調遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由k=-1代入，確定函數的解析式與定義域，判斷定義域是否關于原點對稱，若對稱再判斷f（-x）與f（x）的關系，根據函數奇偶性的定義可得答案．
（II）根據復合函數的單調性，可得若f（x）在[e，+∞）上單調遞增，則u=g(x)=

kx-1

x-1

在[e，+∞）上是增函數，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立，求導后構造關于k的不等式組，解得可得答案．

解答：解：（Ⅰ）當k=-1時，函數f(x)=ln

-x-1

x-1

，
定義域為（-1，1），關于原點對稱．                               …（2分）
且f(-x)=ln

x-1

-x-1

．
所以f(x)+f(-x)=ln

-x-1

x-1

+ln

x-1

-x-1

=ln(

-x-1

x-1

•

x-1

-x-1

)=ln1=0，
即f（-x）=-f（x）．
所以當k=-1時，函數f（x）的奇函數．                            …（6分）
（Ⅱ）因為y=lnu是增函數，
所以由題意，u=g(x)=

kx-1

x-1

在[e，+∞）上是增函數，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立．   …（8分）
即g′(x)=

1-k

(x-1)2

＞0對于x∈[e，+∞）恒成立且g（e）＞0…（10分）
所以

1-k＞0 ek-1 e-1 ＞0

，解得

1

e

＜k＜1．
所以k的取值范圍是(

1

e

，1)．    …（12分）

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合應用，（I）的關鍵是掌握證明函數奇偶性的方法及步驟，（II）的關鍵是分析出u=g(x)=

kx-1

x-1

在[e，+∞）上是增函數，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立．