Question

某實驗中學高2010級同學共捐款2000元，準備為“希望小學”購買單價為50元的課桌和20元的椅子，若要使桌椅的總數盡可能多，但椅子數不能少于桌子數，且不多于桌子數的1.5倍，問桌椅各買多少才合適．（要求畫出示意圖）．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是線性規劃問題．作為應用題應先根據背景設未知數，本題可設購買桌子x張，椅子y張，其總數為z．然后根據信息找出線性約束條件，并畫出可行域，然后變形目標函數根據邊界直線的斜率與變形目標函數后的直線斜率對比，找到最優解的位置．通過聯立邊界直線解除最優解，最后根據問答情況下出結論．
解答：解：設桌椅分別買x，y張，則桌椅的總數z=x+y…（2分）
由題意得：…（4分）
滿足以上不等式組所表示的區域
是以A（，），B（25，37.5），
O（0，0）為頂點的△AOB內部．（如圖所示）．…（6分）
對△AOB內的點P（x，y），z=x+y，即y=-x+z，這是斜率為-1，在y軸上截距為z的平行直線系．…（7分）
要使z最大，只有點P與B重合即可，得x=25，y=37.5，但y∈Z，∴取y=37    所以買桌子25張，椅子37張時是最優選擇．…（11分）
答：應買桌子25張，椅子37張．…（12分）
點評：本題考查的是線性規劃中的應用問題，在解答此類問題時：認真審題、依據背景設量、列線性約束條件、寫目標函數、畫可行域、變形目標函數、邊界直線斜率與目標函數變形后直線斜率的對比、由相應邊界直線聯立解得最優解還有最終根據題意下好結論的解答思路在此題中得到了充分的體現，值得同學們體會、反思還有總結．