Question

（2009•荊州模擬）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，點(diǎn)D是A₁C的中點(diǎn)．
（1）求證：平面BDB₁⊥平面AB₁C；
（2）求二面角C-AB₁-B的大小的正切值．

Answer 1

分析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量

n

•

m

=0即可證明平面BDB₁⊥平面AB₁C；
利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出二面角．

解答：（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），B₁（0，0，1），D(

1

2

，

1

2

，

1

2

)．
∴

AB1

=(-1，0，1)，

AC

=(-1，1，0)，

BB1

=(0，0，1)，

BD

=(

1

2

，

1

2

，

1

2

)．
設(shè)平面AB₁C的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • AB1 =-x+z=0 n • AC =-x+y=0

，令x=1，則y=z=1，∴

n

=(1，1，1)．
同理可得平面BDB₁的法向量

m

=（1，-1，0）．
∵

n

•

m

=1-1+0=0，∴

n

⊥

m

．
∴平面BDB₁⊥平面AB₁C；
（2）解：由（1）可知：平面AB₁C的法向量

n

=(1，1，1)．
取平面ABB₁的法向量為

v

=(0，1，0)，
∴cos＜

n

，

v

＞=

n • v

| n | | v |

=

1

3 ×1

=

3

3

．
∴sin＜

n

，

v

＞=

1-cos2＜ n ， v ＞

=

6

3

．
∴tan＜

n

，

v

＞=

sin＜ n ， v ＞

cos＜ n ， v ＞

=

2

二面角C-AB₁-B的大小的正切值=

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量

n

•

m

=0證明兩個(gè)垂直、利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式得出二面角的方法是解題的關(guān)鍵．