Question

對于任意非零實數x，y，已知函數y=f（x）（x≠0），滿足f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；f（-1）；
（2）判斷y=f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）根據條件中的恒等式，可對x、y進行賦值，令x=y=1，求出f（1）的值，令x=y=-1，求出f（-1）的值；
（2）根據f（-1）=0，令y=-1，可得到f（-x）與f（x）的關系，根據奇偶性的定義可進行判定．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0，
綜上，f（1）=0，f（-1）=0，
（2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1），
又f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）不恒為0，
∴f（x）為偶函數．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數奇偶性的判斷，對于抽象函數問題，賦值法是常用的方法，屬于基礎題．