Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，且經過點M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點．
（1）求橢圓的方程．
（2）求m的取值范圍．
（3）當m=1時，求弦長|AB|的值．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓方程，利用離心率為

3

2

，且經過點M（4，1），建立方程，求出幾何量，即可求橢圓的方程．
（2）直線與橢圓方程聯立，利用判別式可得結論；
（3）直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，即可求弦長|AB|的值．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵離心率為

3

2

，∴a²=4b²①
∵橢圓經過點M（4，1），∴

16

a2

+

1

b2

=1②
由①②可得a²=20，b²=5
∴橢圓的方程為

x2

20

+

y2

5

=1；
（2）將直線l：y=x+m代入橢圓

x2

20

+

y2

5

=1，消去y可得5x²+8mx+4m²-20=0
∵直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點
∴△=64m²-20（4m²-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（3）當m=1時，直線y=x+1代入橢圓方程

x2

20

+

y2

5

=1，消去y整理得5x²+8x-16=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8

5

，x₁x₂=-

16

5

，
∴|AB|=

1+1

|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

64 25 + 64 5

=

16

5

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．