Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點處相切，此切線與函數圖象所圍區域（圖中陰影部分）的面積為

4

3

，則a的值為

-2

．

Answer 1

分析：由題意可得f′（0）=b=0，代入可得解析式為f（x）=x³+ax²，令其為0可解得圖中的交點坐標，進而可得S=

∫

-a 0

(-x3-ax2)dx=

4

3

，解之可得答案．

解答：解：由題意可知f′（x）=3x²+2ax+b，
因為圖象與直線y=0在原點處相切，∴f′（0）=b=0，
故f（x）=x³+ax²=x²（x+a），令其為0可解得x=0或x=-a，
故圖中的與x軸交點處（原點右側）的橫坐標為-a，（a＜0）
故S=

∫

-a 0

(-x3-ax2)dx=（-

1

4

x4-

a

3

x3）

|

-a 0

=-

1

4

a4+

a

3

a3=

1

12

a4=

4

3

，解得a=-2，或a=2（舍去）
故答案為：-2

點評：本題考查定積分的求解，涉及函數的切線問題，屬基礎題．