Question

已知函數f（x）是正比例函數，g（x）是反比例函數，且f（1）=1，g（1）=1，
（1）求函數f（x）和g（x）；
（2）判斷函數F（x）=f（x）+g（x）在[1，2]上的單調性，并證明；
（3）求函數F（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）是正比例函數，g（x）是反比例函數，設f（x）=k₁x，g（x）=

k2

x

，利用f（1）=1，g（1）=1，能求出f（x）=x，g（x）=

1

x

．
（2）F（x）=f（x）+g（x）x+

1

x

在[1，2]上是增函數．利用定義法進行證明即可．
（3）由函數F（x）=x+

1

x

在[1，2]上的單調遞增，知f（x）_min=f（1），f（x）_max=f（2）．由此能求出函數F（x）在[1，2]上的值域．

解答：解：（1）∵函數f（x）是正比例函數，g（x）是反比例函數，
∴設f（x）=k₁x，k₁≠0，g（x）=

k2

x

，k₂≠0，
∵f（1）=1，g（1）=1，
∴k₁=1，k₂=1，
∴f（x）=x，g（x）=

1

x

．
（2）∵F（x）=f（x）+g（x），
∴由（1）知F（x）=x+

1

x

．它在[1，2]上的單調遞增．證明如下：
在[1，2]上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
F（x₁）-F（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）
=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴F（x₁）-F（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＜0，
∴函數F（x）=f（x）+g（x）在[1，2]上的單調遞增．
（3）∵函數F（x）=x+

1

x

在[1，2]上的單調遞增，
∴f（x）_min=f（1）=1+1=2，
f（x）_max=f（2）=2+

1

2

=

5

2

．
故函數F（x）在[1，2]上的值域為[2，

5

2

]．

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查函數的單調性的判斷和證明，考查函數的值域的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．