Question

(2006湖北，20)設A、B分別為橢圓(a、b＞0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．

(1)求橢圓的方程；

(2)設P為右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內(此題不要求在答題卡上畫圖)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)依題意得解得從而， 故橢圓方程為． (2)解法一：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．設． ∵M點在橢圓上，∴．　　① 又M點異于頂點A、B，∴． 由P、A、M三點共線可得． 從而，． ∴．　　② 將①式代入②式簡化得． ∵，∴．于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內． 解法二：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．設P(4，λ)(λ≠0)， ，，則直線AP的方程，直線BP的方程為． ∵點M、N分別在直線AP、BP上， ∴，． 從而．　　③ 聯立消去y，得． ∵，―2是方程的兩根，∴， 即．　　④ 又 ．　　⑤ 于是由③、④式代入⑤式化簡可得． ∵N點在橢圓上，且異于頂點A、B，∴． 又∵λ≠0，∴，從而， 故∠MBN為鈍角，即點B在以NM為直徑的圓內． 解法三：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．設，，則，．又MN的中點Q的坐標為，∴ 化簡得．　　⑥ 直線AP的方程為， 直線BP的方程為． ∵點P在準線x=4上， ∴，即．　　⑦ 又∵M點在橢圓上， ∴，即．　　⑧ 于是將⑦、⑧式代入⑥式化簡可得 ． 從而B在以MN為直徑的圓內．

提示：

剖析：本題考查橢圓、圓以及直線與橢圓的位置關系，考查分析問題和解決問題的能力．