Question

10．已知函數(shù)f（x）=sinx+2cos²$\frac{x}{2}$-1，g（x）=$\sqrt{2}$sin2x，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． 把函數(shù)f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)g（x）的圖象
• B． 兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于直線(xiàn)x-=-$\frac{π}{4}$對(duì)稱(chēng)
• C． 兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上都是單調(diào)遞增函數(shù)
• D． 函數(shù)y=g（x）在[0，2π]上只有4個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)，以及圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx+2cos²$\frac{x}{2}$-1=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），g（x）=$\sqrt{2}$sin2x，
故把函數(shù)f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），可得y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
再向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），故A不正確；
當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）=$\sqrt{2}$sin0=0，不是函數(shù)的最值，故B錯(cuò)誤；
在區(qū)間（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上，x+$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），2x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），f（x）和g（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上都是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確；
在[0，2π]上，令g（x）=$\sqrt{2}$sin2x=0，求得x=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$π，2π，故函數(shù)y=g（x）在[0，2π]上共計(jì)有5個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二倍角的余弦公式、兩角和的正弦公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)，以及圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．