Question

如圖，三棱錐V-ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°．
（1）求證：V、A、B、C四點在同一球面上；
（2）過球心作一平面與底面內直線AB垂直，求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形斜邊中點到三頂點距離相等，且直角三角形VAB和VBC有公共斜邊．
（2）取AC、AB、VB的中點分別為N、P、Q，證明截面MNPQ是矩形．
解答：證明：（1）取VC的中點M，
∵VA⊥底面ABC，∠ABC=90°，
∴BC⊥VB．在Rt△VBC中，M為斜邊VC的中點，
∴MB=MC=MV．同理，在Rt△VAC中，MA=MV=MC．
∴MV=MC=MA=MB．
∴V、A、B、C四點在同一圓面上，M是球心．
（2）取AC、AB、VB的中點分別為N、P、Q，
連接NP、PQ、QM、MN，則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐V-ABC的截面，
易證PQMN是平行四邊形．又VA⊥BC，QP∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN．故截面MNPQ是矩形．
點評：本題考查直角三角形斜邊中點的性質，及取中點利用三角形中位線的性質的解題方法．