Question

從空間中一點P引三條射線PA，PB，PC，且三條射線兩兩成60°角，則二面角A-PB-C的平面角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：在射線PB上取一點M，過M作MA、MC垂直于PB分別相交射線PA、PC于點A、C，連接AC在△ACM中，作AN垂直于CM于點N，∠AMN就是二面角A-PB-C的平面角，解三角形AMN，即可得到二面角A-PB-C的余弦．
解答：解：在射線PB上取一點M，過M作MA、MC垂直于PB分別相交射線PA、PC于點A、C，
所以∠AMC就是二面角A-PB-C的平面角，連接AC，
由圖可得，在直角△PAM中，∠APM=60°，令PM=a，則AP=2a，AM=a，
同理，在直角△PCM中，∠CPM=60°，令PM=a，則CP=2a CM=a．
因為∠APC=60°，PA=PC=2a，
所以△PAC為等邊三角形，即AC=2a．
在△ACM中，作AN垂直于CM于點N，
令MN=b，CN=a-b，AN=x，
由勾股定理可得，在△AMN中有：（ a）²-x²=b²；
在△ACN中有：（2a）²-x²=（ a-b）²，
聯合兩式消去x整理的，a=b，即 =，=，
所以二面角A-PB-C的余弦值是 ．
故選A．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，其中作出二面角的平面角是解答本題的關鍵．