Question

三棱錐P-ABC中，PC、AC、BC兩兩垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點．
（Ⅰ）證明平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求直線PF與平面PAB所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明平面GFE∥平面PCB，只需證明EF∥平面PCB，GF∥平面PCB即可；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小，利用三垂線定理，作出二面角的平面角，解三角形即可．
（Ⅲ）求直線PF與平面PAB所成角的大小，設(shè)PB的中點為K，連接KC，AK，∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角．解答即可．
或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求解即可．

解答：解：方法1：
（Ⅰ）證明：因為E、F、G分別是AB、AC、AP的中點，
所以EF∥BC，GF∥CP．（1分）
因為EF、GF?平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF=F，
所以平面GFE∥平面PCB．（3分）
（Ⅱ）解：過點C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA，垂足為H．
連接HB．

因為BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC．
所以HB⊥PA．
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角．（6分）
依條件容易求出CH=

2

5

．
所以tan∠BHC=

1

2 5

=

5

2

．
所以∠BHC=arctan

5

2

．
所以二面角B-AP-C的大小是arctan

5

2

．（8分）

（Ⅲ）解法1：如圖，設(shè)PB的中點為K，
連接KC，AK，因為△PCB為等腰直角三角形，
所以KC⊥PB．
又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，
所以AC⊥平面PCB．
所以AK⊥PB．
因為AK∩KC=K，
所以PB⊥平面AKC．
又PB?平面PAB，
所以平面AKC⊥平面PAB．
在平面AKC內(nèi)，過點F作FM⊥AK，垂足為M．
因為平面AKC⊥平面PAB，
所以FM⊥平面PAB．
連接PM，
所以∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角．（11分）
容易求出PF=

2

，F(xiàn)M=

1

3

．
所以sin∠MPF=

1 3

2

=

2

6

．
所以∠MPF=arcsin

2

6

．
即直線PF與平面PAB所成的角的大小是arcsin

2

6

．（13分）

（Ⅲ）解法2：連接FB，
因為PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C，
所以PC⊥平面ABC．
即PC是三棱錐P-ABF的高．
依條件知V_P-ABF=

1

3

×PC×（

1

2

×AF×BC）
=

1

3

×1×（

1

2

×1×1）=

1

6

．
又V_F-PAB=

1

3

×h×S_△PAB（其中h是點F到平面PAB的距離）
=

1

3

×h×（

1

2

×

2

×

3

2

）=

1

3

×h×

3

2

=

1

2

h，
所以由

1

6

=

1

2

h解得h=

1

3

．（11分）
設(shè)PF與平面PAB所成的角為α，
又PF=

2

，
所以sinα=

h

PF

=

1 3

2

=

2

6

．
所以α=arcsin

2

6

．
即直線AC與平面PAB所成角大小是arcsin

2

6

．（13分）

方法2：依條件建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
所以A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1）
（Ⅰ）略（3分）
（Ⅱ）解：顯然

CB

=（0，1，0）是平面PAC的一
個法向量．
設(shè)n=（x，y，z）是平面PAB的一個法向量，
因為

AP

=（-2，0，1），

AB

=（-2，1，0），
所以由n•

AP

=0，n•

AB

=0解得n=（1，2，2）．（6分）
設(shè)二面角B-AP-C的大小為θ，
所以cosθ=

CB ?n

| CB ||n|

=

2

3

．
所以二面角B-AP-C的大小為arccos

2

3

．（arccos

2

3

=arctan

5

2

）（8分）
（Ⅲ）解：設(shè)PF與平面PAB所成的角為α，
由（Ⅱ）知平面PAB的一個法向量n=（1，2，2）．
又

FP

=（-1，0，1），
所以cos（

π

2

-α）=

FP ?n

| FP ||n|

=

2

6

．（11分）
所以sinα=

2

6

．
所以α=arcsin

2

6

．
即直線AC與平面PAB所成角的大小是arcsin

2

6

．（13分）

點評：本題考查直線與平面垂直和平行的判定，直線與平面所成的角，空間向量的數(shù)量積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．