Question

如圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點處，容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐．已知鏡口圓的直徑為12 m，鏡深2 m，
（1）建立適當的坐標系，求拋物線的方程和焦點的位置；
（2）若把盛水和食物的容器近似地看作點，試求每根鐵筋的長度．

Answer 1

分析：（1）先建立直角坐標系，得到A的坐標，然后設出拋物線的標準方程進而可得到P的值，從而可確定拋物線的方程和焦點的位置．
（2）根據盛水的容器在焦點處，結合兩點間的距離公式可得到每根鐵筋的長度．

解答：解：（1）如圖，在反光鏡的軸截面內建立直角坐標系，使反光鏡的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，x軸垂直于鏡口直徑．
由已知，得A點坐標是（2，6），
設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
則36=2p×2，p=9．
所以所求拋物線的標準方程是y²=18x，
焦點坐標是F（

9

2

，0）．
（2）∵盛水的容器在焦點處，∴A、F兩點間的距離即為每根鐵筋長．
|AF|=

(2- 9 2 )2+62

=

13

2

（或|AF|=

9

2

+2=

13

2

）．
故每根鐵筋的長度是6.5m．

點評：本題主要考查拋物線的應用．拋物線在現實生活中應用很廣泛，在高考中也占據重要的地位，一定要掌握其基礎知識做到活學活用．