Question

【題目】(導(dǎo)學(xué)號：05856309)

已知拋物線C的方程為x2＝4y，M(2,1)為拋物線C上一點(diǎn)，F為拋物線的焦點(diǎn)．

(Ⅰ)求|MF|；

(Ⅱ)設(shè)直線l2：y＝kx＋m與拋物線C有唯一公共點(diǎn)P，且與直線l1：y＝－1相交于點(diǎn)Q，試問，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)2；(2) 在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，其坐標(biāo)為(0,1)

【解析】試題分析：（1）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義，即可得到所求|MF|；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，由直線l2：y=kx+m與拋物線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與拋物線C相切，利用導(dǎo)數(shù)求出直線l2的方程，進(jìn)而求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，利用，求出N點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：

(Ⅰ)由題可知2p＝4，即p＝2，由拋物線的定義可知|MF|＝1＋＝2.

(Ⅱ)由C關(guān)于y軸對稱可知，若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，則點(diǎn)N必在y軸上．

設(shè)N(0，n)，又設(shè)點(diǎn)P(x0，)，由直線l2：y＝kx＋m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與C相切．

由y＝x2得y′＝x，∴，

∴直線l2的方程為y－＝ (x－x0)，

令y＝－1得x＝，

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，－1)，

∴＝(x0，－n)，＝(－，－1－n)．

∵點(diǎn)N在以PQ為直徑的圓上，

∴·＝－2－(1＋n)(－n)

＝(1－n)＋n2＋n－2＝0，①

要使方程①對x0恒成立，

必須有解得n＝1，

∴在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，其坐標(biāo)為(0,1).