Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足，T_n為{b_n}的前n項和，求證：2T_n＞log₂（2a_n+1）n∈N．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據及，可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的結果代入，求得，利用對數的運算性質求得T_n并代入2T_n-log₂（2a_n+1），利用比商法比較真數的大小即可證明結論．
解答：解：（Ⅰ）已知式即，故．
由條件知a_n+1≠0，所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
由于，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a_2m=2+2（m-1）=2m，
所以a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由，得，，
故．
從而．
=
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=-log₂（2n+1）
=
=．
設，
則，
故=，
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特別地，
從而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂（2a_n+1）．
點評：此題是個難題．考查根據數列的遞推公式利用構造法求數列的通項公式，及數列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（Ⅲ）的設置，數列與不等式恒成立問題結合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現了轉化的思想和分類討論的思想．