Question

已知f(x)=

x+a

x2+bx+1

是奇函數(shù)，且x∈[-1，1]，試判斷其單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a，b，得到解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

x+a

x2+bx+1

是奇函數(shù)，且定義域?yàn)閇-1，1]，
所以

f(0)=a=0 f(-1)= -1 2-b =-f(1)=- 1 2+b

，解得

a=0 b=0

，
所以f(x)=

x

x2+1

，
f（x）在x∈[-1，1]上是增函數(shù)，下面證明：
設(shè)x₁，x₂是定義域內(nèi)的任意兩實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
所以f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，
因?yàn)?1≤x1＜x2≤1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，先利用奇偶性求出解析式再判斷單調(diào)性．