Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）設b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列   
（2）求數列{nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據S_n+1=4a_n+2，得到S_n=4a_n-1+3，兩式相減得到a_n+1=4a_n-4a_n-1 ，再變形得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），令n=1求出a₂的值，由等比數列的定義得{a_n-2a_n-1}是以3為首項，2為公比的等比數列，即數列{b_n}是等比數列；
（2）先由（1）和等比數列的通項公式，求出數列{nb_n}的通項公式，再利用錯位相減法求數列{nb_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由題意知，S_n+1=4a_n+2   ①
∴S_n=4a_n-1+2 （n≥2）②
①-②：a_n+1=4a_n-4a_n-1
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
令n=1得，s₂=4a₁+2=a₁+a₂，解得a₂=5，
數列{a_n-2a_n-1}是以3為首項，2為公比的等比數列，
∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴數列{b_n}是等比數列，
（2）由（1）得，b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴nb_n=3n•2^n-1
∴T_n=3[1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1]③
∴2T_n=3[1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ]④
③-④：-T_n=3[1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ]
=3×

1-2n

1-2

-3n•2ⁿ=（3-3n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（3n-3）•2ⁿ+3．

點評：本題主要考查數列通項公式與前n項和之間的關系，等比數列的通項公式和前n項和公式，以及錯位相減法求和，考查了計算能力．