Question

（本小題滿分13分）
如圖，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求A₁B與平面A₁C₁CA所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-A₁D-A的大小；
（Ⅲ）試在線段AC上確定一點F，使得EF⊥平面A₁BD．

Answer 1

,,線段AC的中點F

解：（Ⅰ）連接A₁C.∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC.

∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA.
∴為與平面A₁C₁CA所成角，.
∴與平面A₁C₁CA所成角為.
（Ⅱ）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G于M，連結BM，
∵BC⊥平面ACC­₁A₁，∴CM為BM在平面A₁C₁CA內的射影，
∴BM⊥A₁G，∴∠CMB為二面角B—A₁D—A的平面角，
平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點，
∴CG=2，DC="1" 在直角三角形CDG中，，.
即二面角B—A₁D—A的大小為.
（Ⅲ）取線段AC的中點F，則EF⊥平面A₁BD.
證明如下：
∵A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱，∴B₁C₁//BC，
∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，
∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F，當F為AC的中點時，
C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D.
同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD.
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）∵A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，
AC⊥CB，D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點.
建立如圖所示的坐標系得：
C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），
C₁（0，0，2）， B₁（2，0，2）， A­₁（0，2，2），
D（0，0，1）， E（1，0，2）.
，設平面A₁BD的法向量為，
 .
平面ACC₁A₁­的法向量為=（1，0，0），.
即二面角B—A₁D—A的大小為.
（Ⅲ）F為AC上的點，故可設其坐標為（0，，0），∴.
由（Ⅱ）知是平面A₁BD的一個法向量，
欲使EF⊥平面A₁BD，當且僅當//.
∴，∴當F為AC的中點時，EF⊥平面A₁BD.