Question

已知{a_n}是首項為2，公比為的等比數列，S_n為它的前n項和．
（1）用S_n表示S_n+1；
（2）是否存在自然數c和k，使得成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比數列的前n項和公式分別表示出s_n與s_n+1，對比找出其關系即可；
（2）假設存在自然數c和k，利用（1）的結論及s_k的范圍，推出c的可能取值，然后逐一驗證即可．
解答：解（1）由，得．
（2）要使，只要．
因為，所以，
故只要．①
因為S_k+1＞S_k（k∈N），所以，
又S_k＜4，故要使①成立，c只能取2或3．
當c=2時，因為S₁=2，所以當k=1時，c＜S_k不成立，從而①不成立．
因為，由S_k＜S_k+1（k∈N），得，所以當k≥2時，，從而①不成立．
當c=3時，因為S₁=2，S₂=3，
所以當k=1，2時，c＜S_k不成立，從而①不成立．
因為，又，
所以當k≥3時，，從而①不成立．
故不存在自然數c、k，使成立．
點評：本題考查了等比數列的前n項和公式以及不等式的有關知識，利用了極限思想及分類討論的數學思想，綜合性和邏輯推理性較強，難度較大．