Question

不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，則不等式a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集為（　　）

A．{x|0＜x＜3}

B．{x|x＜0或x＞3}

C．{x|-2＜x＜1}

D．{x|x＜-2或x＞1}

Answer 1

分析：根據題目給出的二次不等式的解集，結合三個二次的關系得到a＜0，且有-

b

a

=-1+2=1，

c

a

=-2，然后把要求解的不等式整理為二次不等式的一般形式，設出該不等式對應的二次方程的兩根，借助于根與系數的關系求出兩個根，再結合三個二次的關系可求得要求解的不等式的解集．

解答：解：因為不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，所以-1和2是方程ax²+bx+c=0的兩根且a＜0，
所以-

b

a

=-1+2=1，

c

a

=-2，
由a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax，得：ax²-（2a-b）x+a-b+c＞0，
設ax²-（2a-b）x+a-b+c=0的兩根為x₃，x₄，則x3+x4=

2a-b

a

=2-

b

a

=2+1=3①，
x3x4=

a-b+c

a

=1-

b

a

+

c

a

=1+1-2=0②，聯立①②得：x₃=0，x₄=3，
因為a＜0，所以ax²-（2a-b）x+a-b+c＞0的解集為{x|0＜x＜3}，
所以不等式a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集為{x|0＜x＜3}．
故選A．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根與系數關系，訓練了借助于“三個二次”的關系求解一元二次不等式的方法，是基礎題．