Question

（2012•瀘州模擬）對于函數f（x）（x∈D），若存在兩條距離為d的直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數f（x）（x∈D）有一個寬度為d的通道．
下列函數：①f(x)=

1

x

；②f（x）=sinx；③f(x)=

x2-1

；④f（x）=x³+1．
其中[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數的序號是

①③

（填上所有正確答案的序號）

Answer 1

分析：對于①，只需考慮反比例函數在[1，+∞）上的值域即可，對于②，要分別考慮函數的值域和圖象性質，對于③，則需從函數圖象入手，尋找符合條件的直線，對于④，考慮冪函數的圖象和性質，才可做出正確判斷

解答：解：解：對于①，當x∈[1，+∞）時，0＜

1

x

≤1，故在[1，+∞）有一個寬度為1的通道，兩條直線可取y=0，y=1；
對于②，當x∈[1，+∞）時，-1≤sinx≤1，故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；
對于③，當x∈[1，+∞）時，f(x)=

x2-1

表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-2，滿足在[1，+∞）有一個寬度為1的通道；
對于④，當x∈[1，+∞）時，f（x）∈[2，+∞），故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；
故答案為：①③

點評：本題主要考查了對新定義性質的理解和運用，熟知已知四個函數的圖象和性質，是解決本題的關鍵，