Question

 (21) （本小題滿分12分）

已知函數的圖象過點（-1，-6），且函數的圖象關于y軸對稱.

(Ⅰ)求m、n的值及函數y=f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若a＞0，求函數y=f(x)在區間（a-1,a+1）內的極值.

Answer 1

（1）m=-3, n=0. f(x)的單調遞增區間是（－∞，0），（2，＋∞）；f(x)的單調遞減區間是（0，2）（2）當0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值，當1<a<3時，f(x)有極小值－6，無極大值；當a=1或a≥3時，f(x)無極值.

解析:

（1）由函數f(x)圖象過點（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,

則g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;

而g(x)圖象關于y軸對稱，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0.

于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).

由f′(x)>得x>2或x<0,

故f(x)的單調遞增區間是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0<x<2,

故f(x)的單調遞減區間是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

X	(-∞.0)	0	(0,2)	2	(2,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

由此可得：

當0<a<1時，f(x)在（a-1,a+1）內有極大值f(O)=-2,無極小值；

當a=1時，f(x)在（a-1,a+1）內無極值；

當1<a<3時，f(x)在（a-1,a+1）內有極小值f(2)＝－6，無極大值；

當a≥3時，f(x)在（a-1,a+1）內無極值.

綜上得：當0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值，當1<a<3時，f(x)有極小值－6，無極大值；當a=1或a≥3時，f(x)無極值.