Question

給定橢圓＞b＞0)，稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F(，0)，其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為．

(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l₁l₂，使得l₁l₂與橢圓C都只有一個交點(diǎn)．求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3077/0021/67688ef303e83e6aca7e613f5b53f87f/C/Image79.gif" width=86 height=22>，所以　　2分 　　所以橢圓的方程為，準(zhǔn)圓的方程為　　4分 　　(2)①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3077/0021/67688ef303e83e6aca7e613f5b53f87f/C/Image84.gif" width=12 height=21>與橢圓只有一個公共點(diǎn)，則其方程為或， 　　當(dāng)方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點(diǎn) 　　此時經(jīng)過點(diǎn)(或且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是 　　(或，即為(或，顯然直線垂直； 　　同理可證方程為時，直線垂直　　7分 　�、诋�(dāng)都有斜率時，設(shè)點(diǎn)其中， 　　設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為， 　　則，消去得到， 　　即， 　　， 　　經(jīng)過化簡得到：　　9分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3077/0021/67688ef303e83e6aca7e613f5b53f87f/C/Image102.gif" width=66 height=22>，所以有， 　　設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3077/0021/67688ef303e83e6aca7e613f5b53f87f/C/Image83.gif" width=25 height=21>與橢圓都只有一個公共點(diǎn)， 　　所以滿足上述方程， 　　所以，即垂直　　13分