Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（1）若x=-

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3

是f（x）的極值點，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用x=-

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是f（x）的極值點，求出a的值，通過函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值．
（2）利用函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，導數(shù)大于等于0恒成立，推出關(guān)系式，求出a的范圍即可．

解答：解：（1）f^′（x）=3x²-2ax-3，
∵x=-

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是f（x）的極值點，∴f′(-

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)=0，即3×(-

1

3

)2-2a×(-

1

3

)-3=0，解得a=4．
經(jīng)驗證a=4滿足題意．
∴f（x）=x³-4x²-3x，f^′（x）=3x²-8x-3，
令f^′（x）=（3x+1）（x-3）=0，解得x=-

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3

或3．
∴當x＜-

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3

或x＞3時，f^′（x）＞0，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，-

1

3

)或（3，+∞）上單調(diào)遞增；
當-

1

3

＜x＜3時，f^′（x）＜0，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間(-

1

3

，3)上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[3，4]上單調(diào)遞增．
又f（1）=-6，f（4）=-12．
∴f（x）在[1，4]上的最大值為f（1）=-6．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)，
∴f^′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立，
則

a 3 ≤1 f′(1)≥0

或△＜0，解得a≤0．

點評：本題考查函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的最大值的求法，函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查分析問題解決問題的能力．