Question

如圖，△ABC是以∠ABC為直角三角形，SA⊥平面ABCD，SA=BC=2，AB=4．M、N、D分別是SC、AB、BC的中點．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）（文科）求二面角S-ND-A的余弦值；
（3）（理科）求點A到平面SND的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AC的中點E，連接ME，NE，根據SA⊥平面ABCD，根據線面垂直的第二判定定理可得ME⊥平面ABC，則NE為MN在平面ABC內的射影，由NE⊥AB，結合由三垂線定理可得MN⊥AB；
（2）過A作AF⊥DN與DN的延長線相交于點F，連接SF，由三垂線定理知，∠SFA即為二面角S-ND-A的平面角，解三角形，即可得到二面角S-ND-A的余弦值；
（3）過點A作AH⊥SF于H，結合（2）的結論，易得AH的長即為點A到平面SND的距離，解Rt△AHF，即可求出點A到平面SND的距離．
解答：證明：（1）取AC的中點E，連接ME，NE，則ME∥SA
又∵SA⊥平面ABC，
∴ME⊥平面ABC
∴NE為MN在平面ABC內的射影
又∵N，E分別為AB，AC的中點
∴NE∥BC
∴NE⊥AB
由三垂線定理知MN⊥AB
（2）過A作AF⊥DN與DN的延長線相交于點F，連接SF
由三垂線定理知，∠SFA即為二面角S-ND-A的平面角
在Rt△DBN中，tan∠DNB==
∴sin∠DNB=
在Rt△AFN中，NF=AN•sin∠DNB=
在Rt△SAF中，tan∠SFA==
∴cos∠SFA=
即二面角S-ND-A的余弦值為
（3）過點A作AH⊥SF于H
由（2）知平面SAF⊥平面SND
∴AH⊥平面SND
∴AH的長即為點A到平面SND的距離
在Rt△AHF中，AH=AF•sin∠SAF=•=
故點A到平面SND的距離為
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與直線垂直的判定，點到平面的距離，（1），（2）的關鍵是熟練掌握三垂直定理，而（3）的關鍵是根據（2）的結合得到AH的長即為點A到平面SND的距離．