Question

已如點M（1，0）及雙曲線的右支上兩動點A，B，當∠AMB最大時，它的余弦值為（ ）
A．-
B．
C．-
D．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，當直線MA、MB分別與雙曲線相切于點A、B時，可得∠AMB取得最大值．因此設直線AM方程為y=k（x-1），與雙曲線聯解并利用根的判別式，解出k=．設直線AM傾斜角為θ，得∠AMB=2θ且tanθ=，最后利用二倍角的三角函數公式，即可算出∠AMB達到最大值時∠AMB的余弦值．
解答：解：根據題意，當直線MA與雙曲線相切于點A，直線MB與雙曲線相切于點B時，
∠AMB取得最大值．
設直線AM方程為y=k（x-1），與雙曲線消去y，得
（-k²）x²+2k²x-k²-1=0
∵直線MA與雙曲線相切于點A，
∴（2k²）²-4×（-k²）×（k²-1）=0，解之得k=（舍負）
因此，直線AM方程為y=（x-1），同理直線BM方程為y=-（x-1），
設直線AM傾斜角為θ，得tanθ=，且∠AMB=2θ
∴cos2θ===，即為∠AMB最大時的余弦值
故選：D
點評：本題給出雙曲線方程和點M（1，0），求雙曲線右支上兩點A、B對M的最大張角的余弦之值，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質和直線與雙曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．