Question

附加題：
已知函數f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a（a為實數），
（1）求不等式f′(x)＞

3

2

-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函數的單調區間；②證明對任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜

5

16

恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求導數：f/(x)=3x 2+2ax+

3

2

，因此不等式f′(x)＞

3

2

-ax的解集可化為x（x+a）＞0，分類討論可以得出解集的三種不同情況；
（2）根據f′（1）=0解出a=

9

4

，從而f/(x)=3x 2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)，討論其零點即可得出函數f（x）的單調性，進而找出函數在[1，0]上最大最小值的差，證明這個差小于

5

16

即可．

解答：解：（1）不等式可化為x（x+a）＞0，
當a＞0時，解集為{x|x＞0或x＜-a}；
當a=0時，解集為{x|x≠0}；當a＜0時，解集為{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴3-2a+

3

2

=0，a=

9

4

，
∴f′(x)=3x2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)，由f′(x)＞0，x＜-1或x＞-

1

2

；
①由f′(x)＜0，-1＜x＜-

1

2

∴f（x）的單調遞增區間是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；單調減區間為(-1，-

1

2

)（10分）
②由上知，f（x）的單調遞增區間是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；單調遞減區間為(-1，-

1

2

)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值M=

27

8

，最小值m=

49

16

（12分）
∴對任意x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=

27

8

-

49

16

=

5

16

點評：本題考查了利用導數工具研究三次函數的單調性以及求函數在某區間上的值域問題，屬于中檔題．解決本題應注意轉化化歸思想和分類討論思想的應用．