Question

已知函數f（x）=x²，x∈[-1，2]，g（x）=ax+2，x∈[-1，2]，若對任意x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂）成立，則a的取值范圍是

（-∞，-2]∪[2，+∞）

．

Answer 1

分析：存在性問題：“若對任意x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂）成立”，只需函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）的值域的子集即可．

解答：解：若對任意x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
只需函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）的值域的子集即可．
函數f（x）=x²，x∈[-1，2]的值域為[0，4]．
下求g（x）=ax+2的值域．
①當a=0時，g（x）=2為常數，不符合題意舍去；
②當a＞0時，g（x）的值域為[2-a，2+2a]，要使[0，4]⊆[2-a，2+2a]，
需

2-a≤0 2+2a≥4

，解得a≥2；
③當a＜0時，g（x）的值域為[2+2a，2-a]，要使[0，4]⊆[2+2a，2-a]，
需

2+2a≤0 2-a≥4

2+4a≤0 2-a≥4

，解得a≤-2；
綜上，m的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）
故答案為：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評：本題主要考查函數恒成立問題以及函數單調性的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．