Question

在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=，EF=EC=1，
（1）求證：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A-BF-E的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）以點C為坐標原點，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，然后分別求出平面BEF、平面DEF的法向量分別，根據法向量的數量積為0可得結論；
（2）先求出平面ABF的法向量然后求出與平面BEF的法向量的夾角，根據圖形可知二面角A-BF-E的平面角是鈍角，從而求出二面角的大小．
解答：解：（1）∵平面ACEF⊥平面ABCD，
EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如圖所示的空間直角坐標系
，
∴
設平面BEF、平面DEF的法向量分別為，
則=0①+1=0②=0③+1=0④
由①②③④解得x₁=-；x₂=，
∴（4分）
∴，∴，
故平面BEF⊥平面DEF（6分）
（2）設平面ABF的法向量，∵
∴+1=0，
∴（8分）
∴cos＜（10分）
由圖知，二面角A-BF-E的平面角是鈍角，
故所求二面角的大小為：π-arccos．（12分）
點評：本題主要考查了面面垂直的判定，以及二面角大小的度量，同時考查了推理能力、計算能力，以及應用向量知識解決立體幾何問題的能力．