Question

設函數f（x）=ax+2，g（x）=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0．是否存在負數a，使f（x）≤g（x）對一切正數x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在負數a，使得f（x）≤g（x）對一切正數x都成立，再設函數h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0），利用導數研究函數h（x）的最大值，最后利用最大值小于等于0解出a的范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：設函數h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0）
假設存在負數a，使得f（x）≤g（x）對一切正數x都成立．
即：當x＞0時，h（x）的最大值小于等于零．
（9分）
令h′（x）=0可得：（舍）（11分）
當時，h′（x）＞0，h（x）單增；
當時，h′（x）＜0，h（x）單減，
所以h（x）在處有極大值，也是最大值．
∴解得：（13分）
所以負數a存在，它的取值范圍為（14分）
點評：本小題主要考查利用導數研究函數的極值、導數的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．