Question

已知M（-5，0），N（5，0），給出下列直線的方程：①5x-3y=0；②5x-3y-52=0；③x-y-4=0；④4x-3y+15=0，在直線上存在點P滿足|MP|=|PN|+6的直線方程是

②③

．

Answer 1

分析：由M（-5，0），N（5，0），點P滿足|MP|=|PN|+6，知點P的軌跡是雙曲線：

x2

9

-

y2

16

=1．把①5x-3y=0代入雙曲線方程，得-9y²=400，無解．方程：①5x-3y=0上不存在點P滿足|MP|=|PN|+6；把②5x-3y-52=0代入雙曲線方程，得9x²-520x+2848=0，△＞0，直線方程②5x-3y-52=0上存在點P滿足|MP|=|PN|+6．把③x-y-4=0代入雙曲線方程，得7x²+8x-288=0，△＞0，直線方程③x-y-4=0上存在點P滿足|MP|=|PN|+6．④4x-3y+15=0同樣可得結論．

解答：解：∵M（-5，0），N（5，0），點P滿足|MP|=|PN|+6，
∴點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長2a=6的雙曲線，
這個雙曲線的方程為：

x2

9

-

y2

16

=1．
把①5x-3y=0代入雙曲線方程，得-9y²=400，無解．
∴方程：①5x-3y=0上不存在點P滿足|MP|=|PN|+6；
把②5x-3y-52=0代入雙曲線方程，得

x2

9

-

( 5 3 x- 52 3 )2

16

=1，
整理，得9x²-520x+2848=0，
∵△=270400-36×2848=167872＞0，
∴直線方程②5x-3y-52=0上存在點P滿足|MP|=|PN|+6．
把③x-y-4=0代入雙曲線方程，得

x2

9

-

(x-4)2

16

=1，
整理，得7x²+8x-288=0，
∵△=64+28×288=8128＞0，
∴直線方程③x-y-4=0上存在點P滿足|MP|=|PN|+6．
同樣地，④在直線4x-3y+15=0上不存在點P滿足|MP|=|PN|+6．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是圓錐曲線的知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．