Question

7、已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過頂點A任作一條直線l，與異面直線A₁C₁，B₁C所成的角都為60°，則這樣的直線l可作（　　）

A、1條

B、2條

C、3條

D、4條

Answer 1

分析：根據題意，因為A₁D∥B₁C，所以直線A₁C₁和B₁C所成的角即為直線A₁C₁和A₁D所成的角，所以過A₁在空間作直線l，使l與直線A₁C₁和B₁C所成的角都等于60°，可轉化為過點A在空間作直線l，使l與直線A₁C₁和A₁D所成的角都等于 60°．可分在平面ACD₁內和在平面ACD₁外兩種情況尋找．因為要與直線A₁C₁和A₁D所成的角都相等，故在平面ACD₁內可考慮角平分線；在平面ACD₁外可將角平分線繞點A旋轉考慮．

解答：解：因為A₁D∥B₁C，所以直線A₁C₁和B₁C所成的角即為直線A₁C₁和A₁D所成的角，所以過A₁在空間作直線l，使l與直線A₁C₁和B₁C所成的角都等于60°，可轉化為過點A在空間作直線l，使l與直線A₁C₁和A₁D所成的角都等于 60°．
因為∠ACD₁=60°，∠ACD₁的外角平分線與A₁C₁和A₁D所成的角相等，均為60°，所以在平面ACD₁內有一條滿足要求．
因為∠ACD₁的角平分線與A₁C₁和A₁D所成的角相等，均為30°，將角平分線繞點A向上轉動到與面ACD₁垂直的過程中，存在兩條直線與直線A₁C₁和B₁C所成的角都等于60°，故符合條件的直線有3條．
故選C．

點評：本題考查異面直線所成角的問題，考查空間想象能力和轉化能力，屬于中檔題．