Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AD＝a，M，N分別是AB，PC的中點．

(Ⅰ)求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大小；

(Ⅱ)求證：MN⊥平面PCD；

(Ⅲ)當AB的長度變化時，求異面直線PC與AD所成角的可能范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD 　　故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 　　在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA＝AD，∴∠PDA＝ 　　(2)取PD中點E，連結AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點， 　　∴ENCDAB∴AMNE是平行四邊形， 　　∴MN∥AE 　　在等腰Rt△PAD中，AE是斜邊的中線， 　　∴AE⊥PD． 　　又CD⊥AD，CD⊥PD∴CD⊥平面PAD 　　∴CD⊥AE， 　　又PDCD＝D，∴AE⊥平面PCD． 　　∴MN⊥平面PCD 　　(3)∵AD∥BC 　　所以∠PCB為異面直線PC， 　　AD所成的角． 　　由三垂線定理知PB⊥BC，設AB＝x(x＞0)． 　　則tan∠PCB＝