Question

已知函數f（x）=x²+2（1-a）x+2（1-a）ln（x-1）x∈（1，+∞）．
（1）x=

3

2

是函數的一個極值點，求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）當a=2時，函數g（x）=-x²-b，（b＞0），若對任意m₁，m₂∈[

1

e

+1，e+1]，

.

g(m2)-f(m1)

.

＜2g2+2g都成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若x=

3

2

是函數f（x）的一個極值點，求導得到f′（

3

2

）=0得，求a；
（2）由（1）得到的導數，考慮f（x）的定義域，利用導數與單調性的關系即可確定函數的單調區間；
（3）若對任意m₁，m₂∈[

1

e

+1，e+1]，

.

g(m2)-f(m1)

.

＜2e2+2e都成立，轉化為求函數f（x）在區間∈[

1

e

+1，e+1]上的最大值與函數g（x）在區間∈[

1

e

+1，e+1]上的最小值的差小于2e²+2e即可，從而建立關于b的不等關系求出b的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）=x²+2（1-a）x+2（1-a）ln（x-1）
f′（x）=2x+2（1-a）+

2(1-a)

x-1

，…（2分）
∵x=

3

2

是函數的一個極值點，
∴f′（

3

2

）=0
解得：a=

3

2

…（4分）
（2）∵f′（x）=2x+2（1-a）+

2(1-a)

x-1

=

2x(x-a)

x-1

又f（x）的定義域為（1，+∞）．
∴當a≤1時，函數f（x）的單調增區間（1，+∞）．…（6分）
當a＞1時，函數f（x）的單調增區間（a，+∞），減區間為（1，a）．…（…（8分）
（3）當a=2時，由（2）知f（x）在（1，2）減，在（2，+∞）增．
∵f（2）=0，f（

1

e

+1）=

1

e2+1

，f（e+1）=e²-3
∴y=f（x）在[

1

e

+1，e+1]上的值域為[0，e²-3]…（10分）
∵函數g（x）=-x²-b在[

1

e

+1，e+1]上是減函數，
∴y=g（x）在[

1

e

+1，e+1]上的值域為[-（e+1）²-b，-（

1

e

+1）²-b]…（11分）
∵b＞0
∴-（e+1）²-b，-（

1

e

+1）²-b都小于0
∴

.

g(m2)-f(m1)

.

＜2e2+2e，只要e²-3-[-（e+1）²-b]=e²-3+（e+1）²+b=2e²+2e-2+b＜2e²+2e即可
…（12分）
解得：0＜b＜2…（14分）

點評：考查x=x₀是極值點是f′（x₀）=0的充分非必要條件，考查應用導數研究函數的極值最值問題，有關恒成立的問題一般采取分離參數，轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法，屬難題．