Question

在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2a，AB=a,AC=a.

(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求異面直線PC與BD所成角的余弦值；

(3)設二面角A-PC-B的大小為θ,求tanθ的值.

Answer 1

(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝a，∴CD=a.

又∵AD=2a,AC=a,∴AC²+CD²=AD².

∴CD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.

∴CD⊥平面PAC.

又∵CD平面PCD,

∴平面PCD⊥平面PAC.

(2)解:如圖所示，連結AC、BD相交于點O，

則O為AC的中點.取PA的中點E，連結OE，則OE∥PC.故∠BOE(或補角)為異面直線PC與BD所成的角.

連結BE，在△BOE中，

OE=PC=a,

BE==a,

OB==a.

由余弦定理，得cos∠BOE=.

(3)解:∵AB∥CD,CD⊥平面PAC，

∴AB⊥平面PAC.

過A作AG⊥PC，垂足為G，連結BG，由三垂線定理知，BG⊥PC，故∠AGB為二面角A-PC-B的平面角，即∠AGB=θ.

在Rt△PAC中，由面積關系，得AG=a.

在Rt△BAG中，tan∠AGB=.