Question

（本題12分）已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＝3，前3項(xiàng)和S₃＝.

(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝處取得最大值，且最大值為a₃，

求函數(shù)f(x)的解析式．

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n＝×3^n－1＝3^n－2.（2）f(x)＝3sin.

【解析】本試題主要是結(jié)合數(shù)列的概念得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合三角函數(shù)中的性質(zhì)得最值問(wèn)題，從而求解得到解析式。

（1）利用等比數(shù)列{a_n}的公比q＝3，前3項(xiàng)和S₃＝，結(jié)合前n項(xiàng)和公式解得首項(xiàng)，從而得到通項(xiàng)公式

（2）中利用第一問(wèn)的結(jié)論，得到a₃＝3，從而得到函數(shù)的振幅，同時(shí)把x＝代入解析式中，是的函數(shù)取得最大值，得到φ的值，從而求解得到解析式。

解：(Ⅰ)由q＝3，S₃＝得＝，解得a₁＝. 所以a_n＝×3^n－1＝3^n－2.

(Ⅱ)由(1)可知a_n＝3^n－2，所以a₃＝3.  因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為3，所以A＝3；因?yàn)楫?dāng)x＝時(shí)f(x)取得最大值，所以sin＝1.  又0<φ<π，故φ＝.

所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝3sin.