Question

【題目】已知數列的各項均不為零．設數列的前n項和為Sn，數列的前n項和為Tn， 且 ．

（1）求的值；

（2）證明：數列是等比數列；

（3）若對任意的恒成立，求實數的所有值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）數列是以1為首項，為公比的等比數列；（3）0

【解析】

（1）令n=1,n=2列關于的方程求解即可；（2）因為， ①，②，②①得 ③

進一步有④，③④得，檢驗n=1 成立，即可證明是等比數列（3）由（2）將代入不等式，由對任意的恒成立，所以適合，討論，當為奇數時恒成立，和，當為奇數時恒成立，通過證明，單調減，，即（*），說明上面兩個不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有合適

（1）因為，．

令，得，因為，所以．

令，得，即，

因為，所以．

（2）因為， ①

所以， ②

②①得，，

因為，所以，③

所以， ④

當時，③④得，，即，

因為，所以．

又由（1）知，，，所以，

所以數列是以1為首項，為公比的等比數列．

（3）由（2）知，．

因為對任意的，恒成立，

所以的值介于和之間．

因為對任意的恒成立，所以適合．

若，當為奇數時，恒成立，從而有恒成立．

記，因為，

所以，即，所以（*），

從而當時，有，所以不符．

若，當為奇數時，恒成立，從而有恒成立．

由（*）式知，當時，有，所以不符．

綜上，實數的所有值為0．