Question

（2012•藍山縣模擬）已知：△ABC為直角三角形，∠C為直角，A（0，-8），頂點C在x軸上運動，M在y軸上，

.

AM

=

1

2

（

.

AB

+

.

AC

），設B的運動軌跡為曲線E．
（1）求B的運動軌跡曲線E的方程；
（2）過點P（2，4）的直線l與曲線E相交于不同的兩點Q、N，且滿足

.

QP

=

.

PN

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)可得M為BC的中點，由C為直角，可得

CB

•

CA

=0，代入坐標表示可求曲線E的軌跡方程
（2）由

QP

=

PN

可得P是QN的中點，設Q（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段QN的 中點P（2，4），L：y-4=k（x-2）
方法一：由x12=4y1，x22=4y2，兩式相減，結合中點坐標公式可求直線l的斜率k，進而可求直線方程
方法二：聯立直線與曲線方程

y-4=k(x-2) x2=4x

可得x²-4kx+8k-16=0，由方程的根與系數關系及中點坐標公式可求K，進而可求直線方程

解答：解：（1）由

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)可得M為BC的中點（2分）
設B（x，y），則M（0，

1

2

y），C（-x，0）（4分）
∵C為直角，故

CB

•

CA

=0
∵

CB

=(2x，y)，

CA

=(x，-8)
∴2x²-8y=0即x²=4y（5分）
B的軌跡曲線E的方程為x²=4y（（x≠0）6分）
（2）∵

QP

=

PN

P是QN的中點
設Q（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段QN的 中點P（2，4）
設L：y-4=k（x-2）
方法一：則x12=4y1，x22=4y2
兩式相減可得，4（y₁-y₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂）（8分）
∴直線l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=1（11分）
直線l的方程為y-4=x-2即x-y+2=0
方法二：聯立直線與曲線方程

y-4=k(x-2) x2=4x

可得x²-4kx+8k-16=0（*）
△=16（k²-2k+4）＞0，顯然方程（*）有2個不相等的實數根（8分）
∴x₁+x₂=4k=4
∴k=1
∴直線L的方程為x-y+2=0（12分）

點評：本題主要考察了向量的基本運算及向量的坐標表示的簡單應用，直線與曲線相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，注意解法一中的設而不求的解法的應用．