Question

已知≤a≤1，若函數f(x)=ax²-2x+1在區間[1，3]上的最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函數表達式；
（2）判斷函數g(a)在區間[，1]上的單調性，并求出g(a)的最小值。

Answer 1

解：（1）∵≤a≤1，
∴f(x)的圖像為開口向上的拋物線，且對稱軸為，
∴f(x)有最小值，
當2≤≤3時，，f(x)有最大值M(a)=f(1)=a-1；
當1≤<2時，，f(x)有最大值M(a)=f(3)=9a-5；
∴。
（2）設
則，∴，
∴g(a)在上是減函數；
設
則，
∴，
∴在上是增函數，
∴當時，g(a)有最小值。