Question

設M={（x，y）|y=

2a2-x2

，a＞0}，N={（x，y）|(x-1)2+(y-

3

)2=a2，a＞0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由題意可得M表示以原點O為圓心，半徑等于

2

a的半圓（位于橫軸或橫軸以上的部分）．N表示以O′（1，

3

）為圓心，半徑等于a的一個圓．再由M∩N≠∅，可得半圓和圓有交點．當半圓和圓相外切時，求得a的值；當半圓和圓向內切時，求得a的值，從而求得可得a的最大值和最小值．

解答：解：M={（x，y）|y=

2a2-x2

，a＞0}，即{（x，y）|x²+y²=2a²，y≥0}，表示以原點O為圓心，半徑等于

2

a的半圓（位于橫軸或橫軸以上的部分）．
N={（x，y）|(x-1)2+(y-

3

)2=a2，a＞0}，表示以O′（1，

3

）為圓心，半徑等于a的一個圓．
再由M∩N≠∅，可得半圓和圓有交點，故半圓和圓相且或相切．
當半圓和圓相外切時，由|OO′|=2=

2

a+a，求得a=2

2

-2；當半圓和圓向內切時，由|OO′|=2=2

2

-2，求得a=2

2

+2．
故a的范圍是[2

2

-2，2

2

+2]，a的最大值為2

2

+2，最小值為2

2

-2．

點評：本題主要考查兩個圓的位置關系的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．