Question

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底）
(1)求的最小值;
(2)設(shè)不等式的解集為，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的極值點(diǎn)，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值，那么極小值就是其最小值；
（2）根據(jù)不等式的解集為，且，可轉(zhuǎn)化成對任意的，不等式恒成立.即對任意的恒成立，分離參數(shù)得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值，使即可．
試題解析：（1）令，解得；令，解得 .
從而在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增.所以，.
（2）因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024848219578.png" style="vertical-align:middle;" />的解集為，且，
所以，對任意的，不等式恒成立，
由得.當(dāng)時， 上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況.
將變形得，令，.
令，解得；令，解得
從而在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時，取得最小值，從而所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.