Question

（2009•盧灣區二模）關于函數f(x)=(2x-

1

2x

)•x

1

3

和實數m、n的下列結論中正確的是（　　）

A．若-3≤m＜n，則f（m）＜f（n）

B．若m＜n≤0，則f（m）＜f（n）

C．若f（m）＜f（n），則m²＜n²

D．若f（m）＜f（n），則m³＜n³

Answer 1

分析：觀察本題中的函數，可得出它是一個偶函數，由于所給的四個選項都是比較大小的，或者是由函數值的大小比較自變量的大小關系的，可先研究函數在（0，+∞）上的單調性，再由偶函數的性質得出在R上的單調性，由函數的單調性判斷出正確選項

解答：解：∵f(-x)=(2-x-

1

2-x

)•(-x)

1

3

=(2x-

1

2x

)•x

1

3

=f(x)
∴函數是一個偶函數
又x＞0時，2x-

1

2x

與x

1

3

是增函數，且函數值為正，故函數f(x)=(2x-

1

2x

)•x

1

3

在（0，+∞）上是一個增函數
由偶函數的性質知，函數在（-∞，0）上是一個減函數，此類函數的規律是：自變量離原點越近，函數值越小，即自變量的絕對值小，函數值就小，反之也成立
考察四個選項，A選項無法判斷m，n離原點的遠近；B選項m的絕對值大，其函數值也大，故不對；C選項是正確的，由f（m）＜f（n），一定可得出m²＜n²；D選項f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m³＜n³，不成立
綜上知，C選項是正確的
故選C

點評：本題是一個指數函數單調性的應用題，利用其單調性比較大小，解答本題的關鍵是觀察出函數是一個偶函數，且能判斷出函數在定義域上的單調性，最關鍵的是能由函數圖象的對稱性，單調性轉化出自變量的絕對值小，函數值就小，反之也成立這個結論，本題考查了判斷推理能力，歸納總結能力，是函數單調性與奇偶性綜合中綜合性較強的題，解題中能及時歸納總結可以順利求解此類題