Question

（本題滿分12分）

設函數（a＞0，b，cÎR），曲線在點P(0，f (0))處的切線方程為．

（Ⅰ）試確定b、c的值；

（Ⅱ）是否存在實數a使得過點（0，2）可作曲線的三條不同切線，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）當時，過點（0，2）可作曲線的三條不同切線．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由得，

，        ……2分

又由曲線在點P(0，)處的切線方程為，得，

，故．……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

設存在實數a使得過點（0，2）可作曲線的三條不同切線，并設切點為．

則切線的斜率為，

切線方程為，．

∵切線過點（0，2），∴．

于是得，              （*）                  ……6分

由已知過點（0，2）可作曲線的三條不同切線，則方程（*）應有三個不同實數根．

令，則．

令，得或．……8分

由于，所以函數在區間上為增函數，在區間上為減函數，在區間為增函數，所以函數在處取極大值，在處取極小值．

要使方程（*）有三個不同實數根，，得．……11分

綜上所述，當時，過點（0，2）可作曲線的三條不同切線．……12分

注：如有其它解法，斟情給分．

考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性及極值，簡單不等式解法。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）作為存在性問題，先假定存在實數a使得過點（0，2）可作曲線的三條不同切線，通過研究函數的單調性，認識函數特征，轉化成只需使方程有三個不同實數根，得到a的不等式。